1
\binom{n+s-1}{s}=\sum_{0\leq k\leq 2s} (-1)^k\binom{n+2s-k-1}{2s-k}\binom{n+k-1}{k}
Proof :
比较系数法，可知
(1-t^2)^{-n}=(1-t)^{-n}\times(1+t)^{-n}
对两端泰勒展开
\sum_{r\geq 0} \binom{-n}{r}(-t^2)^r=\sum_{i\geq 0}\binom{-n}{i}(-t)^i\sum_{j\geq 0}\binom{-n}{j}t^j
故有
\begin{aligned}
\sum_{r\geq 0}\binom{n+r-1}{r}t^{2r}=&\sum_{i,j\geq 0}(-1)^i\binom{-n}{i}\binom{-n}{j}t^{i+j}\\
=&\sum_{s\geq 0}t^s\sum_{0\leq j\leq s}(-1)^j\binom{n+s-j-1}{s-j}\binom{n+j-1}{j}
\end{aligned}
比较两端 t^s 的系数
[t^s]=\left\{
\begin{aligned}
&\binom{n+\dfrac{s}{2}-1}{\dfrac{s}{2}}, 2\mid s,\\
&0, 2\nmid s.
\\
\end{aligned}
\right.
组合数学